Kunnskap

Hvordan faktorere et polynom av andre grad (likning av andre grad)

Posted on
Forfatter: Monica Porter
Opprettelsesdato: 17 Mars 2021
Oppdater Dato: 1 Juli 2024
Anonim
Andregradslikninger og faktorisering av andregradsuttrykk | Matematikk 1T |
Video: Andregradslikninger og faktorisering av andregradsuttrykk | Matematikk 1T |

Innhold

I denne artikkelen: Fortsett med prøving og feiling Forløp ved nedbrytningDet "tredoble spillet" Forskjell på to firkanter Bruk den kvadratiske formelen Bruke en kalkulator

Et polynom er sammensatt av en variabel (x) hevet til en viss kraft kalt graden av polynomet, og flere andre betegnelser av lavere grader og / eller flere andre konstanter. Å faktorisere et polynom av andre grad (som også kalles "kvadratisk ligning") betyr å redusere det første uttrykket til et produkt av uttrykk av mindre grader som deretter kan multipliseres med det andre. Denne kunnskapen er en del av videregående skole og mer, så denne artikkelen kan være vanskelig å forstå hvis du ennå ikke har det nødvendige matematikknivået.


stadier

Å begynne



  1. Skriv ditt uttrykk. Standardformen for en annen grads ligning er:

    øks + bx + c = 0
    Begynn med å ordne vilkårene for ligningen din i henhold til maktenes rekkefølge, fra den største til den minste, som i standardformen. Ta for eksempel:

    6 + 6x + 13x = 0
    Vi vil omorganisere dette uttrykket for å lette arbeidet ved å bare flytte begrepene:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Finn fabrikkformen ved hjelp av en av metodene som er forklart nedenfor. Faktoriseringen vil gi to kortere uttrykk som vil gi det opprinnelige polynomet hvis vi multipliserer det ene med det andre:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    I dette eksemplet er (2x +3) og (3x + 2) faktorer av det første uttrykket, 6x + 13x + 6.




  3. Sjekk arbeidet ditt! Multipliser faktorene du har identifisert. Kombiner deretter de lignende ordene, så blir du ferdig. Begynn med:

    (2x + 3) (3x + 2)
    La oss begynne å teste dette uttrykket, multiplisere begrepene til de to uttrykkene for å få:

    6x + 4x + 9x + 6
    Derfra kan vi legge til 4x og 9x fordi de er vilkår i samme grad. Vi vet da at faktorene våre er riktige fordi vi faller godt på uttrykk for avgang:

    6x + 13x + 6.

Metode 1 Fortsett med prøving og feiling

Hvis du har å gjøre med en ganske enkel polynom, bør du kunne finne dens nedbrytning som et faktorprodukt med et øyeblikk. For eksempel er mange matematikere i stand til å se det uttrykket 4x + 4x + 1 gir faktorene (2x + 1) og (2x + 1) etter vane og med erfaring (åpenbart er dette ikke så enkelt i tilfelle av komplekse polynomer). La oss ta et mindre vanlig uttrykk for dette eksemplet:


3x + 2x - 8

.



  1. Lag en liste over koeffisientfaktorer har og c. Bruke uttrykket av skjemaet øks + bx + c = 0, identifiser koeffisientene har og c og liste de tilsvarende faktorene. For: 3x + 2x - 8, gir dette:

    a = 3 og har bare ett par faktorer: 1 * 3
    c = -8 og fire par faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.



  2. Skriv på papiret ditt to par parenteser med plass til å skrive inni dem. Du legger inn konstantene for hvert uttrykk i det tilveiebragte rommet:

    (x) (x).



  3. Før x skriver du et par mulige faktorer for koeffisienten har. For koeffisienten har i vårt eksempel, 3x, er det bare en mulighet:

    (3x) (1x).



  4. Fyll deretter ut de to gjenværende tomme områdene med et par faktorer for koeffisienten c. Ta for eksempel 8 og 1. Skriv dem ned:

    (3x8) (X1).



  5. Bestem deg nå for skiltet (mer eller mindre) for å plassere mellom x og tallet du plasserte etter ham. I følge tegnet til det opprinnelige uttrykket, er det mulig å finne hva som skal være tegnene til konstantene. samtale h og k konstantene til faktorene våre:

    Hvis aks + bx + c, da (x + h) (x + k)
    Hvis øks - bx - c eller øks + bx - c så (x - h) (x + k)
    Hvis aks - bx + c, da (x - h) (x - k)
    I vårt eksempel, 3x + 2x - 8, må skiltene plasseres på følgende måte: (x - h) (x + k), som gir oss følgende to faktorer:

    (3x + 8) og (x - 1).



  6. Sjekk den fakturerte skjemaet ved å utvikle det på nytt. En første hurtigprøve er å sjekke om mellomtiden har riktig verdi. Hvis x ikke er bra, kan det hende at du har valgt feil par faktorer for koeffisienten c. La oss sjekke resultatene våre:

    (3x + 8) (x - 1)
    Ved å gjøre en multiplikasjon, får vi:

    3x - 3x + 8x - 8
    Ved å legge til de lignende begrepene (-3x) og (8x) for å forenkle dette uttrykket, får vi:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Vi vet nå at vi sannsynligvis har identifisert feil faktorer:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Bytt om nødvendig valg av faktorer. I vårt eksempel, la oss prøve 2 og 4 i stedet for 1 og 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Nå er koeffisienten vår c er -8, men multiplikasjonene (3x * -4) og (2 * x) gir -12x og 2x, som i tillegg ikke alltid gir initialverdien til b, det er + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. Omvendt, omvendt ordren. Vi inverterer i vårt eksempel stedet for 2 og 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Nå er koeffisienten c er alltid bra, men koeffisientene for begrepene i x er verdt denne tiden -6x og 4x. Når den er lagt til, gir dette:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Vi er veldig nær den opprinnelige verdien til 2x som vi søker å finne, men tegnet er ikke bra.



  9. Kontroller skiltingene om nødvendig. Vi vil nå beholde samme ordre, men vi vil bytte ut skiltene:

    (3x - 4) (x + 2)
    Koeffisienten før c er alltid bra, og begrepene i x er nå verdt (6x) og (-4x). fordi:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Så vi får 2x vi opprinnelig hadde. Så vi har sannsynligvis funnet de riktige faktorene.

Metode 2 Fortsett ved spaltning

Denne metoden vil tillate oss å identifisere alle mulige faktorer for å oppnå koeffisientene har og c og bruk dem for å identifisere hvilke faktorer som er de riktige. Hvis tallene er veldig store, eller de andre prøve- og feilmetodene virker for lange, kan du bruke denne metoden. Ta følgende eksempel:

6x + 13x + 6

.



  1. Multipliser koeffisienten har av koeffisienten c. I vårt eksempel har er lik 6 og c er også lik 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Finn koeffisienten b ved å faktorisere og deretter teste de oppnådde faktorene. Vi leter etter to tall som er faktorer for produktet har * c som vi har identifisert og hvis sum er verdt verdien av koeffisienten "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Introduser de to tallene du nettopp fikk i ligningen din; plasser dem foran x, slik at summen er lik koeffisienten b. La oss ta bokstavene k og h for å representere de to oppnådde tallene 4 og 9:

    øks + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Faktorer polynomet ditt ved å gruppere. Organiser ligningen slik at du finner den største fellesfaktoren for de to første begrepene og den største fellesfaktoren for de to siste begrepene. Du bør da få en sum av to identiske faktorer. Oppsummer de to koeffisientene og legg dem i parentes foran den faktiske formen. så får du to faktorer:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

Metode 3 "Triple-spillet"

Denne metoden er veldig lik den forrige. Dette består i å undersøke de mulige faktorene for produktene til koeffisientene har og c, bruk dem deretter til å finne verdien av b. Ta for eksempel følgende ligning:

8x + 10x + 2



  1. Multipliser koeffisienten har av koeffisienten c. Som med nedbrytningsmetoden vil dette hjelpe oss med å identifisere potensielle kandidater for koeffisienten b. I vårt eksempel har er lik 8 og c er verdt 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Finn de to tallene hvis produkt er tallet som nettopp ble funnet tidligere (16), og hvis sum gir koeffisienten "b". Dette trinnet er identisk med nedbrytningsmetoden - det vil si at vi tester og avviser kandidater til konstanter. Produktet til koeffisientene har og c er lik 16, og koeffisienten c er lik 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Ta disse to tallene og erstatt dem i formelen "triple play". Ta de to numrene fra forrige trinn - la oss kalle dem h og k - og introdusere dem i følgende uttrykk:

    ((øks + h) (øks + k)) / a

    Vi får da:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Finn hvilke av de parentetiske uttrykkene i telleren som kan deles med koeffisienten har. I dette eksemplet tester vi om (8x + 8) eller (8x + 2) kan deles med 8. (8x + 8) kan deles med 8, så deler vi dette uttrykket med har og la det andre uttrykket være som det er.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Uttrykket vi beholder her er det som gjenstår etter inndeling av koeffisienten har : (x + 1).



  5. Finn - hvis det er - en større vanlig faktor i begge parentesene. I vårt eksempel har det andre uttrykket en større felles faktor på 2, siden 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette svaret med uttrykket du fant i forrige trinn. Du har dermed funnet de to faktorene i polynomet ditt.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Metode 4 Forskjell på to firkanter

Noen koeffisienter av polynomene kan identifiseres som "kvadrater", det vil si som produktene for multiplikasjon av to tall. Ved å identifisere disse rutene kan du faktorere mange polynomer mye raskere. Ta for eksempel ligningen:

27x - 12 = 0



  1. Begynn med å legge alt til en større felles faktor hvis det er mulig. I vårt eksempel ser vi 27 og 12, som begge kan deles med 3, slik at vi kan "sprekke" det første uttrykket på følgende måte:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Identifiser om koeffisientene for ligningen din er kvadratiske tall. For å bruke denne metoden, bør du være i stand til å finne firkantede røtter for koeffisientene dine (merk at vi ikke vurderer negative tegn - da vi har å gjøre med firkanter, kan de være et produkt av to positive tall eller negativ)

    9x = 3x * 3x og 4 = 2 * 2.



  3. Ved hjelp av kvadratrøttene du fant, skriv faktorene dine. Ta verdiene av har og c tidligere funnet - har = 9 og c = 4 - før du finner kvadratroten - √har = 3 og √c = 2. Dette vil være koeffisientene til de faktiske uttrykkene våre:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 Bruke kvadratformelen

Hvis alle metodene ovenfor har mislyktes og du ikke finner de riktige faktorene for ligningen din, bruk den kvadratiske formelen. Ta følgende eksempel:

x + 4x + 1 = 0



  1. Ta verdiene til koeffisientene "a", "b" og "c" og erstatt dem i følgende kvadratiske formel:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Vi får da uttrykket:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Løs ligningen for å finne x. Som du ser over, bør du få to verdier på x:


    x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3).



  3. Bruk verdien av x for å finne faktorene. Angi verdiene for x som er oppnådd tidligere som konstanter for de to polynomiske uttrykk. Dette vil være faktorene dine. samtale h og k verdiene til x, og skriv de to faktorerte formene:

    (x - h) (x - k)
    I dette tilfellet er det endelige resultatet:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Metode 6 Bruke en kalkulator

Hvis du har lov til å bruke en grafisk kalkulator, må du være oppmerksom på at dette i stor grad vil lette oppgaven din, spesielt under eksamener. Disse instruksjonene er bare gyldige for grafiske kalkulatorer av merkevaren Texas Instrument. Ta for eksempel følgende ligning:

y = x - x - 2



  1. Skriv inn ligningen din i kalkulatoren. Du må bruke "resolver ligningen", det vil si skjermen.



  2. Lag en grafisk fremstilling av ligningen din på kalkulatoren. Etter å ha kommet inn i ligningen, trykk - du skal da se den grafiske representasjonen av kurven vises (mer presist, du vil få en "bue" fordi du jobber med polynomer).



  3. Finn punktene for skjæringspunktet mellom buen og x-aksen (x). Siden polynomligninger er tradisjonelt skrevet i formen: ax + bx + c = 0, er dette de to verdiene til x som uttrykket er lik null:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Hvis du ikke kan lese verdiene for hvor kurven din krysser x-aksen, trykk deretter. Trykk eller velg "null". Flytt markøren til venstre for et av kryssene og trykk. Flytt deretter markøren til høyre for dette krysset og trykk igjen. Flytt deretter markøren så nær krysset som mulig, og trykk på nytt. Kalkulatoren vil finne verdien av x. Gjør det samme ved det andre krysset.



  4. Til slutt introduserer du x-verdiene oppnådd i forrige trinn i et to-faktor uttrykk. Hvis vi ringer h og k våre to verdier av x, bruker vi deretter følgende uttrykk:

    (x - h) (x - k) = 0
    Og så vil vi få følgende to faktorer:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • En blyant
  • papir
  • En annen grads ligning (eller kvadratisk ligning)
  • En grafisk kalkulator (valgfritt)