Kunnskap

Hvordan faktorere et trinomial

Posted on
Forfatter: Monica Porter
Opprettelsesdato: 16 Mars 2021
Oppdater Dato: 1 Juli 2024
Anonim
Factoring Trinomials by Trial and Error - Ex 2
Video: Factoring Trinomials by Trial and Error - Ex 2

Innhold

I denne artikkelen: Lære å faktorisere x2 + bx + Lær å faktorere mer kompliserte trinomer Noen spesielle tilfeller av trinomiale faktoriseringer6 Referanser

Som navnet tilsier er et trinomial et matematisk uttrykk som har form av en sum av tre begreper. Oftest begynner vi å studere trinomialene i den andre graden som dermed abonnerer: ax + bx + c. Det er flere måter å faktorisere et trinomial av andre grad. Med praksis vil du komme dit uten problemer. Metodene vi skal se gjelder ikke trinomialene i høyere grad (med x eller x). Ved å bearbeide disse siste trinomiene, kan man imidlertid falle tilbake på trinomier av andre grad. Vi ser alt dette i detalj.


stadier

Del 1 Læring å faktorisere x + bx + c



  1. Bruk krybbedødmetoden. Du vet det kanskje, men la oss huske hva det handler om. Når du for eksempel må utvikle et produkt av binomialer - (x + 2) (x + 4) - må du oppsummere produktene med de forskjellige begrepene i rekkefølgen "Først, ekstern, intern, sist". I detalj gir dette:
    • formere første vilkår mellom dem:x+2)(x+4) = x + __
    • multiplisere vilkårene ekstern mellom dem: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • multiplisere vilkårene intern mellom dem: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • formere siste vilkår mellom dem: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Avslutt med å forenkle: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Forstå hva faktorisering er. Når du utvikler produktet av to par, får du et trinomial av formen: harx +bx +c, a, b og c som reelle tall. Når vi gjør omvendt operasjon, går vi fra trinomial til binomialprodukt, sier vi at vi factorises.
    • For klarhetens skyld må begrepene til et trinom være rangert i rekkefølge av synkende kraft. Så hvis vi gir deg: 3x - 10 + x, må du skrive om for: x + 3x - 10.
    • Den største eksponenten er 2 (x), vi snakker om "andre grad" trinomial.



  3. I begynnelsen av faktoriseringen satte vi produktformen for binomialer. Skriv: (__ __)(__ __). Vi vil gradvis fylle de frigjorte plassene, så vel som skiltene.
    • For øyeblikket setter vi ingen tegn (+ eller -) mellom de to begrepene på binomialene.




  4. Du må starte med å finne de første begrepene for hvert par. Hvis din trinomial begynner med x, vil de to første begrepene for parene nødvendigvis x og xsiden x ganger x = x.
    • Vårt første trinomiale vesen: x + 3x - 10, og siden det ikke er noen koeffisient ved x, kan vi umiddelbart skrive:
    • (x __) (x __)
    • Vi vil se senere hvordan man fortsetter når koeffisienten til x er forskjellig fra 1, som 6x eller -x. For øyeblikket sitter vi igjen med denne enkle saken.



  5. Prøv å gjette hva de siste begrepene for parene vil være. Gjennomgå hvordan de siste vilkårene for binomialene er utviklet med PEID-metoden. Vi må nå gjøre det motsatte. Vi ganget deretter de to siste begrepene for å oppnå det siste begrepet ("konstant") av trinomialet. Så du må finne to tall som, multiplisert mellom dem, vil gi deg konstanten av treenigheten.
    • I vårt eksempel: x + 3x - 10, er konstanten -10.
    • Hva er faktorene til -10? Hva er de to tallene, multiplisert mellom dem, vil gi deg -10?
    • Her er alle mulige tilfeller: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 og 2 x -5. Skriv disse kombinasjonene et sted du kan huske.
    • Foreløpig forblir binomialproduktet ditt uendret. Han ser alltid ut som: (x __) (x __).



  6. Test de forskjellige kombinasjonene. Fra konstanten har du klart å identifisere noen kombinasjoner av faktorer, som man må fungere (hvis trinomialet er reduserbart). På dette tidspunktet er det ingen andre løsninger enn å teste hver kombinasjon for å se om en av dem tilfredsstiller treenigheten. For eksempel:
    • I vårt eksempel må summen av produktet "Ekstern" og produktet "Internt" være 3x (hentet fra x + 3x - 1)
    • Ta kombinasjonen av -1 og 10: (x - 1) (x + 10). Summen av produktet "Ekstern" og produktet "Intern" gir: 10x - x = 9x. Det fungerer ikke!
    • Ta kombinasjonen 1 og -10: (x + 1) (x - 10). Summen av produktet "Ekstern" og produktet "Intern" gir: -10x + x = -9x. Det går fremdeles ikke! Du vil merke ved forbifarten at denne siste sjekken var ubrukelig. Paret (-1.10) gir faktisk 9x og paret (1, -10) gir -9x. Så bare test et enkelt par.
    • Ta kombinasjonen -2 og 5: (x - 2) (x + 5). Summen av produktet "Ekstern" og produktet "Intern" gir: 5x - 2x = 3x. Eureka! Svaret er: (x - 2) (x + 5).
    • Når det gjelder trinomer som er så enkle som denne (starter med x), kan vi gjøre kortere. Bare legg til de to potensielle faktorene, legg til "x" på slutten og du ser med en gang om det er den rette kombinasjonen. Der gjør du: -2 + 5 → 3x. Hvis x er flankert av en koeffisient, fungerer ikke metoden, og det er derfor det er bra å huske den detaljerte metoden.

Del 2 Lære å faktorere mer kompliserte trinomer



  1. Faktorer din trinomial til en enklere trinomial. Anta at du må faktorisere følgende trinomial: 3x + 9x - 30. Forsøk å se om det ikke er en divisor som er felles for alle tre begrepene. Vi tar da den største (hvis det er flere), hvorav navnet "Most Great Common Divisor" (eller PGCD). I trinomialet vårt vil det være 3. La oss se dette i detalj:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Dermed 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Derfor er det lett å faktorere den andre parentesen i henhold til metoden beskrevet ovenfor. Vi oppnår som følger: (3) (x-2) (x + 5). Vi må ikke glemme 3 sette inn faktor.



  2. Noen ganger kan vi ikke faktor reelle tall, men mengder med ukjente. Dermed kan vi faktorere i "x", "y" eller "xy". Her er noen eksempler:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Faktorer faktisk selvfølgelig det nye trinomiet som vi så tidligere. Kontroller om det ikke er noen feil. Øv med øvelsene som er foreslått på slutten av denne artikkelen.



  3. Forsøk å faktorisere trinomialer med en x flankert av en koeffisient. Noen trinomialer av andre grad er vanskeligere å faktorisere, bildet av 3x + 10x + 8. Vi får se hvordan vi går frem, så hva du kan trene med øvelsene som er foreslått på slutten av artikkelen. Slik fungerer vi:
    • Spør produktet om par: (__ __)(__ __)
    • Hver av de to "Første" begrepene må ha en "x", og produktet fra begge må være 3x. Det er bare en mulighet: (3x __) (x __), 3 er et primtall.
    • Finn faktorene til 8. Det er to muligheter: 1 x 8 eller 2 x 4.
    • Ta disse kombinasjonene for å finne konstantene til parene. Viktig poeng: ettersom den ukjente "x" har forskjellige koeffisienter, er rekkefølgen på kombinasjonen viktig. Du må finne slutten på midten, her, 10 ganger. Her er de forskjellige kombinasjonene:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x nei!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x nei!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x nei!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja! Dette er riktig faktorisering.



  4. I nærvær av at en ukjent har en styrke som er større enn 2, kan man lage en ukjent substitusjon. En dag, vil du absolutt måtte faktorisere en trinomial av fjerde (x) eller femte grad (x). Målet er å bringe dette trinomialet tilbake til noe kjent, det vil si et trinomial av andre grad for å faktorisere uten problemer. For eksempel:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Oppfinne en ny ukjent som vil forenkle problemet. Vi vil her sette Y = x. Vi satte en hovedstad Y for å huske at det er et surrogat. Trinomialet blir da:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): vi faktoriserer som i del 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Det er på tide å erstatte den ukjente substitusjonen med dens sanne verdi:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Del 3 Noen spesielle tilfeller av trinomialiseringer



  1. Se etter mulige primtall. Se om konstanten og / eller koeffisienten for den første eller tredje termin ikke ville være primtall. Husk at et tall sies å være "prime" når det bare kan deles med 1 eller seg selv. Ut fra denne definisjonen, hvis vi finner et primtall på de stedene som er angitt ovenfor, kan treenigheten bare faktorere i form av et enkelt produkt av binomialer.
    • For eksempel i x + 6x + 5, konstanten 5 er et primtall, så binomialproduktet vil være av formen: (__ 5) (__ 1)
    • I 3x + 10x + 8 er koeffisienten 3 er et primtall, så produktet av binomialer vil være av formen: (3x __) (x __).
    • Til slutt, i 3x + 4x + 1, 3 og 1 som primtall, er den eneste mulige løsningen: (3x + 1) (x + 1). Sjekk imidlertid alltid kombinasjonen. Det hender at noen treenigheter ikke kan tas med. Dermed kan ikke 3x + 100x + 1 tas med (vi sier at det er "irreducible"). Med 3 og 1 vil du aldri få 100.



  2. Man må alltid tenke på saken om et trinomial som ville være utviklingen av en bemerkelsesverdig identitet, et perfekt torg for bare å ta dette eksemplet. Med perfekt firkant mener vi produktet av to perfekt identiske par: (x + 1) (x + 1) som vi skriver (x + 1). Her er noen av disse perfekte rutene:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) og x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) og x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) og x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Et trinomial harx + bx + c er utviklingen av et perfekt torg hvis har og c er i seg selv positive firkanter (som 1, 4, 9, 16, 25 ...) og hvis b (positiv eller negativ) er lik 2 (√a x √c) = 2 ac.



  3. Se om det er mulig å faktorisere. II er faktisk trinomier som ikke kan tas i betraktning. Hvis du sliter med å faktorere et trinomial av den andre kanoniske formen ax + bx + c, fordi det ikke er noen åpenbare røtter, må du bruke diskriminerende (Δ) -metoden. Det siste beregnes som følger: Δ = √b - 4ac. Hvis Δ <0, kan ikke trinomialet tas i betraktning.
    • For trinomials som ikke er andre grad, bruk Eisenstein-kriteriet forklart i "Tips" -delen.